Зачем и как учить формулы по тригонометрии?

Мне как репетитору по математике приходится довольно часто слышать от учеников такой вопрос: «Зачем наизусть учить эти формулы, если они есть в учебнике и всегда (по крайней мере на занятиях) можно воспользоваться любой их них?» Иногда даже слышишь и такое: «Зачем их учить, если я могу их вывести?». К сожалению, из года в год приходится объяснять детям одно и то же: формирование математического аппарата, при котором формулы не заучиваются, происходит медленнее, нежели в противном случае. Почему? Во-первых, новые свойства, теоремы, взаимосвязи между математическими объектами почти всегда используют какие-то особенности ранее изученных формул и понятий. Концентрировать внимание ученика на новом материале будет сложнее, если эти особенности не смогут извлекаться из памяти за короткий промежуток времени. Во-вторых, незнание формул наизусть препятствует поиску решения содержательных задач с большим количеством мелких операций, в которых требуется не только провести определенные преобразования, но и выявить последовательность этих ходов, анализируя применение нескольких формул на два-три шага вперед.


На второй причине стоит остановиться поподробнее. Процесс поиска решения сложной задачи требует от ученика предельной концентрации внимания и контроля за очень многими параметрами. Когда ученик думает, ему приходится напрягать память с удвоенной силой, а ее ячейки работают на два фронта. Во-первых, в каждый момент времени в них должна удерживаться вся полученная ранее информация об исследуемых объектах (объем которой только растет), промежуточные результаты преобразований и вычислений, структура объектов, их свойства, взаимосвязи между ними. Во-вторых, в определенные моменты в эти ячейки «подгружаются» (как из ПЗУ компьютера) еще и теоретические сведения. В зависимости от навыков работы с каждой формулой, на различных стадиях анализа ее применения происходит либо ее отбор, либо она «выгружается» обратно и «подгружается» следующая. И так – многократно, перебирая в голове все варианты использования имеющихся знаний, с различной для каждого случая скоростью.


Объем этих операций может потребовать от ученика значительных ресурсов его организма, определенных навыков производить подобные "операции". Иначе, головной мозг или не будет успевать обрабатывать всю эту информацию, или не сможет удерживать ее в полном объеме в нужные моменты, или вообще не сможет организовать такой процесс. Любое переключение внимания (например, на поиск формулы в учебнике) вносит дополнительные помехи в работу «мозгового компьютера». Если формул не знать наизусть, а решать задачи, одновременно роясь в шпаргалках, справочниках или в своих записях, то внимание ребенка будет рассеиваться, и, как следствие, будут теряться те или иные особенности строящегося (или уже присутствующего в голове ребенка) алгоритма решения задачи. Если еще и формулы не отработаны с репетитором на достаточном количестве заданий, то ученик попросту забудет, как и когда их надо применять.
Вывод формулы на экзамене – тоже опасная вещь Во-первых, ученик может вывести ее с ошибкой. Во-вторых, надо помнить, как она выводится, что в свете большого объема учебного материала под силу только очень сильным абитуриентам. В-третьих, выводы формул требуют от ученика дополнительных ресурсов (как временных, так и физиологических), которые можно было бы направить на другие важные цели. Репетитор, применяющий методику «все необходимое можно вывести», помимо проведения работы по обучению доказательствам, должен быть абсолютно уверен в способностях ученика запомнить все этапы вывода формулы и повторить их через большой промежуток времени в нервной обстановке экзамена


Оптимальный вариант – выучить формулы наизусть до их применения на практике. Для достижения этой цели занятия с репетитором подходят как нельзя лучше, поскольку каждый ребенок имеет свои особенности работы памяти. Помощь репетитора в этом случае может быть более адресной. Каждая ситуация, конечно, требует своего подхода, но любая методика должна учитывать два главных принципа организации работы, направленной на заучивание :
  1. Удержать внимание ребенка на объекте запоминания как можно дольше, Это важнейшая задача, которую приходится решать репетитору, поскольку все физиологические процессы в организме подвержены влиянию такого параметра, как время. Если не обращаться многократно к ячейкам памяти и не использовать находящуюся в них информацию, то эта информация постепенно стирается. И чем чаще мы ее используем, тем дольше она сохраняется. Именно поэтому режим занятий «раз в неделю» может свести «на нет» все попытки репетитора получить приемлемый результат обучения и подходит только действительно сильным ученикам.
    Если времени для занятий достаточно, грамотный репетитор обязательно предложит ребенку специальные задания, направленные на запоминание. Они должны быть максимально разнообразными и интересными, иначе ученик просто устанет от одного и того же. Выбор методов и пропорции между объемами заданий, видами деятельности ученика, определяются индивидуально.

  2. Использовать приемы, облегчающие запоминание. В основу таких приемов должны быть заложены принципы работы зрительной, слуховой, ассоциативной, двигательной, моторной памяти. У каждого ребенка каналы получения информации работают по-своему. Выявить наиболее активные из них может только профессионал высочайшего уровня, имеющего за плечами большой опыт индивидуальной работы.

Рассмотрим подходы к проблеме заучивания формул на примере самого объемного и трудного для запоминания раздела математики – тригонометрии.
Решать задачу заучивания формул нужно поэтапно
  1. Многие репетиторы ошибочно считают, что для наилучшего запоминания необходимо обязательно доказывать формулы и спрашивать эти доказательства с ученика. Но смысловые связи в большей степени обеспечивают лучшее понимание, а не запоминание. Конечно, смысловая память человека позволяет удерживать информацию достаточно долго, но только если эти взаимосвязи лежат на поверхности. К тому же такой подход требует не только определенной базы знаний и способностей ученика воспринимать новую информацию в больших объемах, но и достаточного времени на применение данной методики. К сожалению, финансовые возможности родителей вносят в работу репетитора существенные временные ограничения. Труднее всего работать, когда родители обращаются за помощью непосредственно перед экзаменом с единственной целью - сдать его любой ценой. Приходится полностью отстраниться от каких-либо доказательств и заниматься исключительно применением формул. Однако, если работа преподавателя проходит всё же в относительно комфортных условиях и со способным учеником, то доказательствами стоит заняться. В некоторых случаях можно доказать все основные формулы, в некоторых - часть из них. Вклад доказательств в систему заучивания окажется не столь весомым как при других видах деятельности, но все же свою функцию они нести будут. Запомнив какую-то особенность или идею вывода формулы, ученик сможет связать ее с общей структурой формулы или с какой-нибудь частью ее «визуальной картинки»
    Если возможности ученика не позволяют трудиться на таком уровне, то работа со смысловой памятью не принесет результатов и формулы лучше сразу выписывать в специально отведенную для этого теоретическую тетрадь (почти со всеми учениками я веду такие тетради). Функция этой тетради – собрать воедино весь вспомогательный материал, к которому ученик периодически возвращается. В нужный момент он имеет быстрый доступ к любым формулам, графикам, блок-схемкам, равносильным переходам, кратким алгоритмам решения базовых задач и др.
    Если ученик пишет аккуратно – лучше всего ему самому вести эту тетрадь (преподаватель записывает формулы на листочке, а ученик переносит их к себе). Если пишет как курица лапой – репетитор делает необходимые записи самостоятельно. В любом случае лучше не пользоваться готовыми шпаргалками и справочниками, потому что движения тоже запоминаются, причем внимание ученика в этом случае не рассеивается на большом количестве знаков и действий, а последовательно концентрируется на том, что в данный момент выписывается.

  2. После этого самый важный этап: анализ формул изучаемой группы, выявление аналогий и взаимосвязей в их содержании. Определенные закономерности можно подметить и запомнить почти всегда.
    Смотрим, что есть у формул общего, чем они отличаются, сопоставляем их с формулами другой изученной группы. На этом специально следует сделать акцент, поскольку механизмы работы ассоциативной памяти позволяют максимально долго удерживать информацию по сравнению с любой из других ее видов.
    Например, в формулах двойного угла число 2 (из коэффициента угла) всегда «переползает» или в показатель степени, или в коэффициент выражения. Это может отложиться в голове. Далее, в свойстве четности косинуса знак пропадает, а в свойстве разности косинусов как бы обратно возвращается в виде коэффициента «минус два». Во всех длинных тригонометрических формулах с косинусами (суммы и разности функций, суммы и разности углов) перемножаются ОДНОИМЕННЫЕ ФУНКЦИИ. В случае с синусами – РАЗНОИМЕННЫЕ. Я всегда выделяю эти два слова в теоретической тетради и при каждом удобной случае обращаю на них внимание ученика. Таким образом, снимается проблема с окончанием записи произведений. А что делать на старте? Для этого тоже можно выявить аналогии: большинство правых частей этих формул начинаются с той же функции, которая стоит в левой части и с того же угла (а в формулах сложения функций еще и с того же алгебраического действия). Просто и легко. Увидел сумму синусов – начинай с синуса полусуммы. Формулу разности косинусов можно рассматривать как исключение из правила, у нее еще и знак в коэффициенте появляется. У формул с косинусами вообще сплошные сюрпризы, отличия, смены…Все эти заметки можно подать ученику в виде рассказа, которым репетитор убьет «двух зайцев» :удержит внимание ученика на объекте и включит в работу ассоциативную память. Кратковременное запоминание может быть увеличено в разы, и примерно 90-95% учеников, после всех анализов, с первого раза правильно выписывают формулы одной группы. Длина формул запоминается лучше, чем мелкие ее детали. Поэтому в длинных конструкциях необходимо разобрать особенности перехода от одного множителя к другому, от одного угла к другому. В формулах повышения (понижения) аргумента обязательно стоит заметить, что при увеличении степени выражения в несколько раз угол уменьшается почти всегда во столько же раз (за исключением тех формул, в чьих выводах используется основное тригонометрическое тождество). Если ученик это помнит, то не ошибется и с углами.

  3. На следующем этапе, в отдельных случаях, полезно потратить время на прочтение формул слева направо, а затем справа налево (это особенно важно в том случае, если у ребенка слуховая память работает, по крайней мере, несильно хуже зрительной). Если репетитор замечает, что ребенок начинает проговаривать формулу до ее применения (ученик может и произносить её вслух и молча проговаривать одними губами), то ему обязательно нужна такая форма работы.
    Можно сначала попросить прочитать одну, а затем и все формулы по тетради (и даже несколько раз), а затем закрыть ее и произнести то же самое в любой удобной ему последовательности. После этого поставить ученика в условия выбора этой последовательности самим репетитором. Репетитор зачитывает левую часть, а ученик заканчивает правую. И наоборот – по правой вспоминает левую. Можно скомбинировать устную работу с письменной. Репетитор читает одну часть формулы – ученик пишет другую часть.
    Задания при работе с этой методикой могут быть самыми разными и использоваться на различных этапах работы. Если репетитор уже начал решать с ребенком задачи и их содержание не требует максимальной мобилизации внимания, - можно остановить ученика и просить прочесть окончание той или иной формулы. В дальнейшем, услышав со стороны репетитора опорную фразу «синус двойного угла», ученик сможет быстро выписать связанное с ним 2SinXCosX.

  4. Если на слух информация запоминается хуже – надо запоминать формулы в процессе письма. Методика такая же, как в работе со слуховой памятью. Разница в том, что ребенок выполняет те же задания письменно.

  5. Работа со зрительной памятью будет более эффективной, если самые важные особенности применения формул будут выделяться в цвете или будут соответствующим образом подчеркнуты. Я всегда выделяю двойные углы в тригонометрических формулах, а также в формуле Sin(Х-У)=SinXCosY-CosXSinY два первых угла , потому что в левой части именно этой формулы важен порядок расположения уменьшаемого и вычитаемого. Цвет позволяет быстро концентрировать внимание на наиболее важных моментах теории, а также быстрее управлять вниманием ученика (можно говорить «треугольник ABC и треугольник MNK, а можно говорить «красный и синий треугольники». Конечно, не стоит увлекаться цветом и раскрашивать всю тетрадь, иначе ничего выделяться из общей пестрой палитры не будет.

  6. Итак, формулы одной группы запомнились. При переходе к следующим формулам необходимо помнить, что новая информация постепенно вытесняет из головы старую. Заучить одну формулу не представляет труда, а вот запомнить все сразу – значительно тяжелее. Поэтому нужно регулярно заниматься повторением и ставить ученика в условия необходимости обращения к нескольким формул сразу!!! Чем шире разброс – тем лучше. Частично эту функцию несут в себе решаемые учеником практические задачи, качество которых определяется количеством обращений к различным темам курса математики.
    Эта оптимизация весьма трудна для репетитора, потому как длинная задача может быть предложена не каждому ученику и не на каждом этапе обучения.. Если задачи решаются с трудом именно по причине незапоминания, то лучше всего использовать отдельные задания, направленные на заучивание всех формул сразу. В большинстве случаев оптимальным вариантом будет многократное переписывание формул. По левым частям – пишем правые, затем по правым – левые. Сначала из одной группы, затем из разных. Процесс письма моделирует реальную ситуацию применения формулы на практике и заставляет включить в работу сразу два вида памяти: зрительную и моторную (двигательную). Письменные упражнения лучше способствуют ускорению процесса изучения объекта, поскольку перед любым анализом использования его свойств объект сначала выделяется из общей массы в виде графического образа.
    Для разнообразия можно предложить такое задание: на столе лежат карточки с формулами вперемешку. Ученик должен найти в этой массе обе части одной формулы и положить их рядом. Очень полезное занятие. Вместе с найденной формулой ему приходится посматривать и другие карточки (причем сразу все, и по нескольку раз). В такой методике активно используется зрительная память, через которую человек получает 70% всей информации. Желательно такие задания давать ребенку регулярно в начале каждого урока минут на 5 – 10. Если репетитор видит ошибки, то можно удалить из списка несколько правильно найденных учеником формул и повторить задание. Внимание ученика будет сконцентрировано на том, что он не помнит. В зависимости от вида ошибок репетитор может выкладывать определенные части формул в нужном порядке самостоятельно, а от ученика потребуется найти окончания. Виды заданий зависят от каждой конкретной ситуации. Можно предложить заполнить пропуски в готовых формулах, выписанных на карточках. Можно усложнить условия работы: требуется собрать разорванные формулы на карточках, в которых есть еще и пропуски. Таким образом и сильному ученику будет интересно.
    Задания на заучивание формул ученик может выполнять и самостоятельно (в качестве домашнего задания). .На чистом листе выписываются все формулы, которые он помнит. После этого он открывает теоретическую тетрадь и выясняет: не забыл ли он какую-нибудь из них, нет ли ошибок. Если что то не так – переделывается заново. Конечно, для выполнения такого задания требуется желание ученика работать дополнительно и способности организовывать эту работу самостоятельно. Как правило, у абитуриентов и то, и другое присутствует. Если ученик не помнит, какие формулы он изучал, то кусочки формул переписываются на листочек напрямую из теоретической тетради (левые или правые части), а затем, через некоторое время, процесс завершается с закрытой тетрадью. Опять смотрим: все ли правильно. В случае появления ошибки весь лист переписывается заново, а формула, в которой допущена ошибка, дублируется в начало нового листка и в конец. И так, пока не появится листок без ошибок... Если ученик самостоятельно не может этим заняться (чаще всего дети делают только то, что задают), то репетитор может провести такую работу на занятии (если позволяет время) или приготовить эти листочки заранее и прикрепить их к домашнему заданию.

  7. Завершающий этап заучивания формул – применение их в решении задач. Самые большие трудности возникают в работе с формулами двойного угла, поскольку каждый угол можно считать двойным. Очень важно донести эту мысль до ученика, закрепляя взаимосвязь между объектами ? и 2? определенными упражнениями. Но применение формул – это отдельная тема.

  8. Можно вести специальную тетрадь для ошибок. Каждая ошибка использования формулы переносится в эту тетрадь. Каждый лист тетради делится на две колонки. В левую часть пишем формулу с ошибкой и выделяем ее цветом, а в правой части – правильный вариант (часто использую такую методику сам для выучивания с младшими школьниками таблицы умножения).

  9. Хороший способ заставить ученика чаще обращать внимание на формулы – повесить листочек с ними на двери комнаты или найти для него какое-то постоянное место у письменного стола. Нелишним будет сделать фотографию формул фоновым рисунком рабочего стола в компьютере. Репетитор должен использовать уникальную возможность влиять на обстановку, в которой работает ученик, так, чтобы частота появлений формул перед глазами ученика была максимальной.

В заключение хотелось бы отметить, что большинство учебных пособий и справочников, предлагают списки тригонометрических формул в неудобной для заучивания форме. Помимо этого, важные формулы иногда пропускаются, а в довесок к базовым, предлагаются лишние формулы-следствия, которые можно вообще не знать, а решать задачу по основным. Ученик, перегруженный обилием математических знаков и символов, часто не знает, что и как ему учить. Хороший репетитор обязан помочь ему в этом важном вопросе.
Колпаков Александр
13.03.2010